数学是一门十分抽象的学科，数学家通过逻辑推理构建出严谨的数学定理。随着数学的发展，数学被大范围的应用于科学领域，尤其是物理学。正如著名数学家高斯所言：数学是科学的皇后。
数学非常严谨，它们已经在物理学中大显威力。物理学家基于数学创立物理定律，这可以描述宇宙中的各种现象，所以数学在物理学的应用十分成功。
但即便如此，很多数学定理证明了数学之力是有极限的。那么，这些定理与科学，尤其是物理学有多大关系呢？
哥德尔不完备定理
数学家哥德尔发现，在一切蕴涵皮亚诺公理（关于自然数的五条公理系统，也就是初等数论）的形式系统中，可以构造出无法证明也无法证伪的命题，也不能证明本身的兼容性。这个发现打破了数学家在此前两千年来所形成的认知，数学其实是不完备的。
不过，哥德尔不完备定理与科学实践无关。这是因为数学家总是可以用另一个公理来扩展原来的公理系统，只是这个公理无法表明先前不可判定的命题是否为真。
不可判定性：物理学中怎么样处理数学的不完备性？
在物理学中，理论是一组数学公理，就像哥德尔不完备定理所涉及的那些公理一样。不过，物理学理论还为如何用可测量的量来确定数学结构提供了一种方法。毕竟，物理学是科学，不是纯粹的逻辑数学。
因此，如果物理学中有任何不可判定的命题，物理学家会通过实验测量来判定它，然后再引入一个与结果一致的公理。或者，如果不可判定的命题没有对应可观测到的结果，那么，物理学家也可以忽略它。
不可计算性
关于不可计算性的数学定理在物理学上同样是不相关的，但原因不同。不可计算性的问题在于它总是来自于无限的东西，但现实中没有一点东西是真正无限的。因此，这些定理其实并不适用于我们能在自然界中找到的任何东西。
图灵停机问题
图灵停机问题可以说明这样的一个问题。计算机科学之父图灵则提出一个设想，试着找到一个元算法，它可以告诉我们另一个算法在有限时间内是否会结束运行。图灵证明，这样的元算法不存在。这是一种无限大的类，在现实中，我们永远都不可能需要一个算法来回答无穷多的问题。
在数学中，大多数实数是不可计算的，是因为没有算法可以在有限的时间内把它们近似到某一有限的精度。但在物理学中，物理学家从不处理实数。物理学家处理是有限小数位的数，并且带有误差线。
不可预测性
量子力学有一个不可预测的因素，但这种不可预测性是相当无趣的，因为它是通过假设得到的。更有趣的是混沌系统的不可预测性。
对于一些混沌系统，它们有一种特殊的不可预测性。即使知道任意精确的初始条件，我们也只能在有限的时间内做出预测。在现实世界中，这样的一种情况是否真的会发生，目前还不清楚。
这种不可预测方程的一个例子是纳维-斯托克斯方程（N-S方程），它常被用于天气预报。N-S方程是否在某些情况下会导致不可预测的情况，目前尚不清楚，这是当今最难的数学问题之一。
如果假设这样的一个问题已经解决了，N-S方程有时确实不可能在有限时间之内做出预测。那么，我们能从中了解到关于自然的什么？不是很多，因为我们已知道N-S方程只是一个近似值。
事实上，气体、液体都是由微观粒子构成的，这应该用量子力学来描述，但量子力学并没有那种混沌的不可预测性。不过，量子力学或许最终也不是正确的理论。因此，我们真的不能说大自然是可预测的，还是不可预测的。
这是一个将不可能性定理应用于自然的一般性问题。我们永远不知道物理学中所做的数学假设是否真的正确，或者如果有一天它们会被更好的东西取代。物理是科学，不是数学。物理学家使用数学是因为它有用，而不是因为物理学家认为大自然就是数学。
也许N-S方程根本就不是预报天气的正确方程，但我们目前正在使用它。正因为如此，知道何时会出现不可预测的情况是很重要的，这样做才能够避免出错。这对于天气来说并不可行，但对于某些混沌系统是可行的，例如，核聚变中的等离子体。
在核聚变过程中，等离子体有时会产生不稳定性，破坏保护壳。因此，如果出现不稳定的情况，核聚变就必须迅速停止，这会让核聚变效率变得非常低。如果能够知道何时会出现不可预测的情况，就能在第一时间阻止它们发生。
总结
所有这些听起来就像不可判定性、不可计算性和不可预测性的问题都是属于数学，与科学无关。但从某种意义上来说，数学中的不可能性定理在科学中又是相关的，这并不是因为它们告诉我们一些关于自然本质的东西，而是因为我们在实践中使用数学来理解所观测到的自然现象，定理可以告诉我们物理学理论能做出什么预测。
