来历 | Quanta Magazine
编译 | 张二七
审校 | 吴非
“老妈，我裤子上破了几个洞，帮我缝一下吧！”
“没问题，多大的洞啊？”
“洞的形状都挺怪的，不过恣意两点的间隔都不超越1厘米。”
妈妈翻出了一些碎布头，形状都是直径1厘米的圆形，她认为这样应该就满意补上各种形状的洞了。不过真的是这样吗？想要盖住形状各异，但最宽不超越1厘米的破洞，直径1厘米的圆形补丁真的够用吗？
圆形的“补丁”
让咱们假定你的裤子上破了一个三角形的洞，这是一个边长1厘米的等边三角形——因而三角形中恣意两点间的间隔都不会超越1厘米，契合咱们在最初对洞的要求。可是你会发现，直径1厘米的圆形补丁并不能彻底盖住这个洞。
直径1厘米的圆形并不能彻底掩盖边长为1厘米的等边三角形。（若无特别标示，本文图片均来自Quanta Magazine）
经过简略的核算，你就能了解这个道理。圆的半径是0.5厘米，但等边三角形中心到极点的间隔是√3/3 ≈ 0.58厘米——大于圆的半径，这个圆当然就无法掩盖到三角形的顶角了。
当然了，最稳妥的办法便是预备一大块布，这样什么洞都能补上了，便是有些糟蹋。那么问题来了：能不能找到面积最小的一块布，让它能够补上恣意形状的，宽不超越1厘米的洞呢？
万有掩盖问题
在数学中，这被称为“万有掩盖问题”（universal covering problem）。这样的一个问题是亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在1914年写给另一位数学家朱利叶斯·帕尔（Julius Pál）的一封信中提出的。这样的一个问题的说法有许多种，但它们的中心都是宽度为1，也便是在平面上有一个图形，图形中恣意两点间的间隔都不超越1。勒贝格的万有掩盖问题，便是要求找到一个面积最小的图形，使其能够“掩盖”一切宽度为1的图形。
这个看似简略的问题其实现已困扰了数学家们一百多年，乃至到了现在，他们依然没有找到终究答案。假如只要求能够掩盖一切宽度为1的洞，那么咱们有许多的挑选，但要找出面积最小的那个就很困难了。
为了评论这样的一个问题，让咱们先设想出恣意一个宽度为1的形状R，尽管不知道它长什么姿态，但其间必定存在相距1单位长度的两个点，咱们称之为A点和B点。
那么现在幻想形状R中的第三个点C，C或许存在于哪些区域呢？首要，C点到A点的间隔必定不能超越1。也便是说，咱们以A为圆心，1单位长度为半径画一个圆A，C点必定在这个圆内（或圆周上）。
相同的，C点到B点的间隔也不能超越1单位长度，那么咱们以B点为圆心，1为半径作圆B的话，C点也应该在这个圆的范围内。
因为C点应该既在圆A中，也在圆B中，那么C点就应该落于两圆的重合区，也便是下图这个“橄榄球”形状中。
不止C点，形状R中的其他点也需求满意相同的条件，因而形状R中的一切点都应落在上图的“橄榄球”中。换句话说，这个形状能够掩盖一切或许的形状R，那么它便是一个“万有掩盖”图形。
不过这块“橄榄球”布料仍是太大了，让咱们试着剪掉一部分。
首要，增加两条与线段AB平行的直线（如下图），使其与AB的间隔均为1/2，因而这两条直线间的间隔便是1单位长度。
现在咱们得到了这样的两块赤色区域Ⅰ和Ⅱ，它们之间的最短间隔为1。或者说，Ⅰ中的恣意一点，与Ⅱ中的恣意一点的间隔必定大于1。
幻想一下，假如形状R包含了Ⅰ区域中的某些点，那么这些点到Ⅱ区域中恣意一点的间隔必定会大于1，这就违反了咱们对形状R的要求。也便是说，此刻的形状R必定不能与Ⅱ区域堆叠。因而，在Ⅰ和Ⅱ区域中，咱们就能够剪掉一个了。这样得到的“美妆蛋”相同的形状，依然是一个万有掩盖图形。
在裁剪之前，咱们用到的“布料”面积是2π/3-√3/2≈ 1.228，而剪完后，“布料”的面积变成了π/2-1/2 ≈ 1.071。请记住咱们得到这个“美妆蛋”的进程——从最简略想到的图形动身，经过不断裁剪剩余的部分，咱们就能取得面积更小的万有掩盖图形。
这也正是数学家们探究面积最小的万有掩盖图形的办法，不过他们是从六边形开端的。
“帕尔六边形”
还记得勒贝格的那位数学家朋友帕尔吗？在收到勒贝格的来信后不久，帕尔就使用等宽曲线的性质证明，对边相距为1的正六边形就能做到万有掩盖（等宽曲线是指曲线上任何一对平行切线的间隔都持平的曲线，圆便是最常见的一种等宽曲线）。
“帕尔六边形”的面积比咱们的“美妆蛋“更小了，其面积为√3/2≈0.866。不过，帕尔并不满意于此，他发现这个六边形还能再剪掉几个角。
咱们咱们都知道，正六边形的旋转对称角是60°。那么将另一个六边形绕中心旋转30°，再叠在原先的六边形上，咱们就能给原先的六边形切出六个角，对应下图中的赤色区域。
还记得咱们是如何将“橄榄球”剪掉一个角，变成“美妆蛋”的吗？接下来的进程和咱们之前的裁剪进程十分类似。
首要，每一组相对的小三角间的间隔都是1单位长度，因而每一对赤色三角中都有一个能够被裁去。咱们当然期望能够剪掉三个——也便是每对中的一个。可是，假如真的剪掉三个角的话，这个图形就无法满意万有掩盖条件了。
依据六边形的对称性，假如某个图形占有了六个小三角中的三个时，它或许会呈现两种状况：接连的三个角（左图），或是相间的三个角（右图）。咱们在图里用蓝色和赤色来表明这两种状况。
假如咱们的形状R占用了左图中的三个蓝色三角区域，那么咱们就无法在剪掉右侧图形中的三个赤色三角的状况下，将其掩盖。反之也是相同，假如咱们剪掉了左边图形中的三个赤色三角，那么当形状R占有了右图中蓝色区域的三个三角时，新的图形也无法将R掩盖了。
不过就算不能一同修剪掉三个角，咱们至少能够裁掉两个。假如咱们剪掉既不相邻也不相对的两个赤色三角形区域的话，就不会呈现上述的问题了，而这便是帕尔所做的。
帕尔剪掉了六边形的两个角，这样得到的新图形依然能够掩盖一切宽度为1的形状。这个新图形的面积是2-2√3/3≈0.8453，比帕尔六边形的面积减少了约0.0207。
不断地修剪
接下来的修剪作业就益发艰难了。在帕尔的作业基础上，1936年，数学家罗兰·斯普拉格（Roland Sprague）移除了面积为0.001的一块小碎片。随后，在1992年，H·C·汉森（H. C. Hansen）从右下角和左下角裁去了0.00000000004个平方单位的面积（小数点后10个0，不必数了）。
2014年，一位本职是软件工程师的业余数学家（尽管说是业余，可是人家也有数学的博士学位）菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）挑选了一种简略粗犷的回答思路——先看答案，再想进程。他用核算机随机生成了200个宽度为1的图形，把他们叠到一同，然后以其掩盖的形状为头绪，找出了对过去万有掩盖图形的顶部的修整办法。他的证明于2015年宣布，该论文将此前的万有掩盖图形再次缩小了0.0000224平方单位。
菲利普·吉布斯与帕尔六边形（图片来自：Philip Gibbs）
灰色的部分是吉布斯裁剪的角（图片来自：Philip Gibbs）
从1914年至今，数学家们一直在寻觅最小的万有掩盖图形，他们能走多远呢？2005年，彼得·布拉斯（Peter Brass）和梅尔博德·沙里夫（Mehrbod Sharifi）证明，万有掩盖面积不能小于0.832平方单位。因而咱们咱们都知道，留给数学家裁剪的区域现已不多了。
不过咱们也能够试着提出一种新技术，又或是裁剪的新起点，或许你也能像那位业余数学家相同，愈加迫临最小的万有掩盖图形。
参考资料：
https://plex-holes-20200108/
https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/
修改：fengyao
